设$E$是实直线的一个非空子集，且$E$有上界，那么存在一个序列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$,它的元素都在$E$中，并且$$\lim_{n\to\infty}a_n=\sup(E)$$

 

证明:由于$E$有上界，所以有上确界.若$\sup(E)$就是$E$的最大值$\max(E)$，则令$\forall 1\leq i\leq n,a_i=\max(E)$即可.若$\sup(E)$不是$E$的最大值，则对任意给定的正实数$\varepsilon$,区间$(\sup(E)-\varepsilon)$里总有属于$E$的无限个点.令$$a_1\in (\sup(E)-\varepsilon,\sup(E)-\frac{\varepsilon}{2}),a_2\in (\sup(E)-\frac{\varepsilon}{2^2},\sup(E)-\frac{\varepsilon}{2}),\cdots,a_{n+1}\in(\sup(E)-\frac{\varepsilon}{2^{n+1}},\sup(E)-\frac{\varepsilon}{2^n}),\cdots$$易得$\lim_{n\to\infty}a_n=\sup(E)$.那么，我到底在哪里使用了选择公理呢？其实当我构造了可数个开区间，并把数列$(a_i)_{i=1}^n$中的各个元素放置在这些开区间内的时候，就用到了选择公理.

 

 

可是，假如我是这样，令

\begin{align*}

a_1=\sup(E)-\frac{3}{4}\varepsilon,a_2=\sup(E)-\frac{3}{8}\varepsilon,\cdots,a_{n+1}=\frac{3}{2^{n+2}}\varepsilon

\end{align*}

此时操作是具体的，可构造的，所以存在性是显然的，不需要用到选择公理.